বীজগণিতীয় সূত্রাবলি

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | | NCTB BOOK

সপ্তম শ্রেণিতে বীজগণিতীয় প্রথম চারটি সূত্র ও এদের সাথে সম্পৃক্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে সেগুলো পুনরুল্লেখ করা হলো।

(a + b)² এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ :

সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (a + b) x (a + b) = (a + b)²

$∴$ (a + b)² = ax (a + b) + bx (a + b)

= a² + a² + a² + b² = a² + 2ab + b²

আবার, বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

a × a + a × b+ b × a + b × b

= a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b²

লক্ষ করি, সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

$∴$ (a + b)² = a² + 2ab + b²

সপ্তম শ্রেণিতে যে সূত্র ও অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্পর্কে জেনেছি তা হলো :

সূত্র ১। (a + b)² = a² + 2ab + b²

কথায়, দুইটি রাশির যোগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ + ২ × ১ম রাশি x ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ।

সূত্র ১। (a - b)² = a² + 2ab + b²

কথায়, দুইটি রাশির বিয়োগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ – ২ × ১ম রাশি x ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ।

সূত্র ৩। a² – b² = (a + b) (a – b)

কথায়, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল x রাশি দুইটির বিয়োগফল

সূত্র 8। (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab

কথায়, দুইটি দ্বিপদী রাশির প্রথম পদ একই হলে, তাদের গুণফল হবে প্রথম পদের বর্গ, স্ব-স্ব চিহ্নযুক্ত দ্বিতীয় পদদ্বয়ের সমষ্টির সাথে প্রথম পদের গুণফল ও স্ব-স্ব চিহ্নযুক্ত দ্বিতীয় পদদ্বয়ের গুণফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, (x + a)(x + b) = x² + (a এবং b এর বীজগণিতীয় যোগফল) x + (a এবং b এর গুণফল)

অনুসিদ্ধান্ত ১। a² + b² = (a + b)² – 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ২। a² + b² = (a – b)² + 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ৩। (a + b)²= (a – b)² + 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৪। (a – b)² = (a + b)² - 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৫। 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

অনুসিদ্ধান্ত ৬। 4ab = (a + b)² – (a - b)²

বা, $a b = {(\frac{a + b}{2})}^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}$

উদাহরণ ১। $3 x + 5 y$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(3 x + 5 y)}^{2} = (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 5 y + {(5 y)}^{2}$

$= 9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2}$

উদাহরণ ২। বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে $25$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(25)}^{2} = {(20 + 5)}^{2} = (20)^{2} + 2 \times 20 \times 5 + {(5)}^{2}$

$= 400 + 200 + 25$

$= 625$

উদাহরণ ৩। $4 x - 7 y$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(4 x - 7 y)}^{2} = (4 x)^{2} - 2 \times 4 x \times 7 y + {(7 y)}^{2}$

$= 16 x^{2} - 56 x y + 49 y^{2}$

উদাহরণ ৪। $a + b = 8$ এবং $a b = 15$ হলে, $a^{2} + b^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$

$= {(8)}^{2} - 2 \times 15$

$= 64 - 30$

$= 34$

উদাহরণ ৫। $a - b = 7$ এবং $a b = 60$ হলে, $a^{2} + b^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$

$= {(7)}^{2} + 2 \times 60$

$= 49 + 120$

$= 169$

উদাহরণ ৬। $x - y = 3$ এবং $x y = 10$ হলে, ${(x + y)}^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(x + y)}^{2} = {(x - y)}^{2} + 4 x y$

$= {(3)}^{2} + 4 \times 10$

$= 9 + 40$

$= 49$

উদাহরণ ৭। $a + b = 7$ এবং $a b = 10$ হলে, ${(a - b)}^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$

$= {(7)}^{2} - 4 \times 10$

$= 49 - 40$

$= 9$

উদাহরণ ৮। $x - \frac{1}{x} = 5$ হলে, ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(x + \frac{1}{x})}^{2} = {(x - \frac{1}{x})}^{2} + 4 . x . \frac{1}{x}$

$= {(5)}^{2} + 4$

$= 25 + 4$

$= 29$

কাজ :
১। $2 a + 5 b$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

২। $4 x - 7$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

৩। $a + b = 7$ এবং $a b = 9$ হলে, $a^{2} + b^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

8। $x - y = 5$ এবং $x y = 6$ হলে, ${(x + y)}^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

উদাহরণ ৯। সূত্রের সাহায্যে $3 p + 4$ কে $3 p - 4$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : $(3 p + 4) (3 p - 4) = {(3 p)}^{2} - {(4)}^{2} [∵ (a + b) (a - b) = a 2 b 2]$

$= 9 p^{2} - 16$

উদাহরণ ১০। সূত্রের সাহায্যে $5 m + 8$ কে $5 m + 9$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : আমরা জানি, $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$

$∴ (5 m + 8) (5 m + 9) = {(5 m)}^{2} + (8 + 9) \times 5 m + 8 \times 9$

$= 25 m^{2} + 17 \times 5 m + 72$

$= 25 m^{2} + 85 m 72$

উদাহরণ ১১। সরল কর : ${(5 a - 7 b)}^{2} + 2 (5 a - 7 b) (9 b - 4 a) + {(9 b - 4 a)}^{2}$

সমাধান : ধরি, $(5 a - 7 b) = x$ এবং $9 b - 4 a = y$

$∴$ প্রদত্ত রাশি $= x^{2} + 2 x y + y^{2}$

$= (x + y)^{2}$

$= (5 a - 7 b + 9 b - 4 a)^{2}$

$= (a + 2 b)^{2}$

$= a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}$

উদাহরণ ১২। $(x + 6) (x + 4)$ কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর।

সমাধান : আমরা জানি, $a b = {(\frac{(a + b)}{2})}^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}$

$∴ (x + 6) (x + 4) = {(\frac{x + 6 + x + 4}{2})}^{2} - {(\frac{x + 6 - x + 4}{2})}^{2}$

$= {(\frac{2 x + 10}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2}$

$= {(x + 5)}^{2} - 1^{2}$

উদাহরণ ১৩। $x = 4, y = - 8$ এবং $z = 5$ হলে, $25 {(x + y)}^{2} - 20 (x + y) (y + z) + 4 {(y + z)}^{2}$ এর মান কত?

সমাধান : ধরি, $x + y = a$ এবং $y + z = b$

$∴$ প্রদত্ত রাশি $= 25 a^{2} - 20 a b + 4 b^{2}$

$= (5 a)^{2} - 2 \times 5 a \times 2 b + (2 b)^{2}$

$= (5 a - 2 b)^{2}$

$= {5 (x + y) - 2 (y + z)}^{2}$ [a ও b এর মান বসিয়ে]

$= (5 x + 5 y - 2 y - 2 z)^{2}$

$= (5 x + 3 y - 2 z)^{2}$

$= {5 \times 4 + 3 (- 8) - 2 \times 5}^{2}$ [x, y ও z এর মান বসিয়ে]

$= (20 - 24 - 10)^{2}$

$= (- 14)^{2} = 196$

কাজ : ১ । সূত্রের সাহায্যে $(5 x + 7 y)$ ও (5x - 7y) এর গুণফল নির্ণয় কর।

২ । সূত্রের সাহায্যে $(x + 10)$ ও $(x - 14)$ এর গুণফল নির্ণয় কর।

৩। $(4 x - 3 y)$ ও $(6 x + 5 y)$ কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ কর।

${(a + b + c)}^{2}$ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা :

সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

$(a + b + c) (a + b + c) = (a + b + c)^{2}$

$∴ (a + b + c)^{2} = a (a + b + c) + b (a + b + c) + c (a + b + c)$

$= a^{2} + a b + a c + a b + b^{2} + b c + c a + b c + c^{2}$

$= a^{2} + 2 a b + 2 a c + b^{2} + 2 b c + c^{2}$

$∴ (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

আবার, বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

$= a^{2} + a b + a c + a b + b^{2} + b c + a c + b c + c^{2}$

$= a^{2} + 2 a b + 2 a c + b^{2} + 2 b c + c^{2}$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

$∴ (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

উদাহরণ ১৪। $2 x + 3 y + 5 z$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরি, $2 x = a, 3 y = b$ এবং $5 z = c$

$∴$ প্রদত্ত রাশির বর্গ $= (a + b + c)^{2}$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

$= (2 x)^{2} + (3 y)^{2} + (5 z)^{2} + 2 \times 2 x \times 3 y + 2 \times 3 y \times 5 z + 2 \times 2 x \times 5 z$ [a,bও c এর মান বসিয়ে]

$= 4 x^{2} + 9 y^{2} + 25 z^{2} + 12 x y + 30 y z + 20 x z$

$∴ 4 x + 3 y + 5 z)^{2} = 4 x^{2} + 9 y^{2} + 25 z^{2} + 12 x y + 30 y z + 20 x z$

উদাহরণ ১৫। $15 a - 6 b - 7 c$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : $(5 a - 6 b - 7 c)^{2} = {5 a - (6 b + 7 c)}^{2}$

$= (5 a)^{2} - 2 * 5 a (6 b + 7 c) + (6 b + 7 c)^{2}$

$= 25 a^{2} - 10 a (6 b + 7 c) + (6 b)^{2} + 2 \times 6 b \times 7 c + (7 c)^{2}$

$= 25 a^{2} - 60 a b - 70 a c + 36 b^{2} + 84 b c + 49 c^{2}$

$= 25 a^{2} + 36 b^{2} + 49 c^{2} - 60 a b + 84 b c - 70 a c$

বিকল্প সমাধান :

আমরা জানি, $(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 x z$

এখানে, $5 a = x, - 6 b = y$ এবং $- 7 c = z$ ধরে

$(5 a - 6 b - 7 c)^{2} = (5 a)^{2} + (- 6 b)^{2} + (- 7 c)^{2}$

$+$ $2 (5 a) (- 6 b) + 2 (- 6 b) (- 7 c) + 2 (5 a) (- 7 c)$

$= 25 a^{2} + 36 b^{2} + 49 c^{2} - 60 a b + 84 b c - 70 a c$

কাজ : সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর :

১। $a x + b y + c$ ২। $4 x + 5 y - 7 z$

Content added || updated By

Rezwan Siddiki Tamim

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি

সপ্তম শ্রেণিতে যে সূত্র ও অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্পর্কে জেনেছি তা হলো :

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion